Mayın Tarlası - Algoritmik Oyun Teorisi Analizi

Oyun Hakkında

Mayın Tarlası, 1990'larda Microsoft Windows işletim sistemleriyle popüler hale gelen tek oyunculu bir bulmaca oyunudur. Oyuncunun amacı, mayın içermeyen tüm hücreleri, mayınlara basmadan açmaktır. Her hücre, komşu hücrelerdeki mayın sayısını gösterir ve bu bilgiyi kullanarak oyuncu güvenli hücreleri belirleyebilir.

Algoritmik oyun teorisi açısından bakıldığında, Mayın Tarlası tam bilgili olmayan bir oyundur. Oyuncu, mayınların konumunu bilmez ve oyun boyunca edindiği bilgilerle optimal stratejiler geliştirmelidir.

Oyun Teorisi Kavramları

Nash Dengesi

Mayın Tarlası tek oyunculu bir oyun olduğu için klasik Nash dengesi kavramı doğrudan uygulanamaz. Ancak, oyuncunun mayın konumlarına ilişkin inançları ve bu inançlara göre optimal hareket etmesi bir tür "kendi kendine Nash dengesi" olarak düşünülebilir.

Bilgi Setleri

Mayın Tarlası, eksik bilgiye sahip bir oyundur. Oyuncu, mayınların konumlarını bilmez ve her hamle sonucunda yeni bilgiler edinir. Bu bilgi setleri, oyuncunun karar verme sürecini şekillendirir.

Beklenen Fayda Maksimizasyonu

Oyuncu, her hamlede mayına basma riskini minimize etmeye çalışır. Bu, olasılık teorisi ve beklenen fayda maksimizasyonu kavramlarıyla modellenebilir. Oyuncu, en yüksek güvenlik olasılığına sahip hücreleri seçer.

Algoritmik Analiz

Mayın Tarlası çözme algoritmaları, mantıksal çıkarım ve olasılıksal analiz kullanır. İki temel yaklaşım vardır:

1. Deterministik Çözüm

Bu yaklaşımda, mevcut bilgilere dayanarak kesin olarak güvenli veya mayınlı olduğu belirlenen hücreler işaretlenir. Örneğin, bir hücrede "1" yazıyorsa ve sadece bir kapalı komşusu varsa, o komşu kesinlikle mayınlıdır.

function deterministicSolve(board) {
    for (each revealed cell with number n) {
        if (hidden neighbors count == n) {
            flag all hidden neighbors as mines
        }
        if (flagged neighbors count == n) {
            reveal all hidden neighbors
        }
    }
}

2. Olasılıksal Çözüm

Deterministik kuralların yetersiz kaldığı durumlarda, olasılık hesaplamaları kullanılır. Her hücrenin mayın içerme olasılığı hesaplanır ve en düşük olasılığa sahip hücreler açılır.

function probabilisticSolve(board) {
    calculate probabilities for all hidden cells
    find the cell with minimum probability of containing a mine
    if (probability < threshold) {
        reveal that cell
    } else {
        make a guess (game becomes uncertain)
    }
}

Matematiksel Model

Mayın Tarlası, bir olasılık uzayı (Ω, F, P) olarak modellenebilir:

Ω: Tüm olası mayın yerleşimlerinin kümesi
F: Ω üzerinde tanımlı σ-cebiri (olaylar kümesi)
P: Her mayın konfigürasyonuna eşit olasılık atayan ölçü

Oyuncunun bilgi seti, açılan hücreler ve sayıları tarafından belirlenir. Her hamlede, oyuncu mevcut bilgi setine göre en düşük riskli hamleyi seçer.

Bir hücrenin mayın içerme olasılığı şu şekilde hesaplanır:

P(hücre = mayın | bilgi) = (bilgi ile uyumlu ve hücrenin mayınlı olduğu konfigürasyon sayısı) / (bilgi ile uyumlu tüm konfigürasyon sayısı)

Gerçek Dünya Uygulamaları

Mayın Tarlası ve benzeri algoritmaların çeşitli gerçek dünya uygulamaları bulunmaktadır:

Güvenlik Taramaları: Ağ güvenliği ve siber saldırı tespitinde benzer mantıksal çıkarım yöntemleri kullanılır.
Tıbbi Teşhis: Belirtilere dayalı olarak hastalık olasılıklarının hesaplanması.
Kaynak Keşfi: Jeolojik araştırmalarda maden yataklarının belirlenmesi.
Makine Öğrenmesi: Eksik verilerin tamamlanması ve model tahminleri.

Mayın Tarlası: Algoritmik Oyun Teorisi Analizi